Dans cet article, nous donnons une description de l'algèbre des polynômes sur K, où K désigne le compact maximum invariant de l'application de Hénon. Ceci fournit en particulier un moyen commode pour calculer les points périodiques. Nous montrons également que si mn désigne la mesure également répartie sur tous les points n-periodiques, alors l'intégrale de P(x)mn converge, pour toute fonction polynomiale P, vers une limite que l'on peut calculer explicitement. Nous donnons aussi une condition suffisante pour que K soit entièrement réel.
Nous montrons que le lieu de connexité du système itéré de fonctions z -> sz+-1, ainsi qu'un autre ensemble remarquable de l'espace des paramètres, sont localement connexes, et que deux points quelconques peuvent être joints par un chemin hölderien avec un exposant explicite.
Soit H une application de Hénon complexe, et soit O+ l'ouvert de C2 constitué des points dont les itérées positives tendent vers l'infini. Nous nous proposons de calculer le groupe des automorphismes analytiques de cette variété complexe, et en particulier le centralisateur de H dans ce groupe.
On justifie (grace à la méthode de Loewner) une méthode numérique permettant de tracer les rayons externes de l'ensemble de Julia (connexe) d'un polynome quadratique.
On suppose que z est un point périodique de z -> z2+c de multiplicateur rho. Alors rho est un entier algébrique si et seulement si 4c est un entier algébrique.
Ci-dessous la version originale (en français):
Vous pouvez aussi télécharger les transparents (scannés, 1.8 Mo, 14 pages au format PDF) d'un exposé fait au LIAFA le 4 mars 2005, puis à Orsay le 26 janvier 2006, sur ce sujet.
Un théorème de Guo-Cheng Yuan et Brian R. Hunt affirme que, pour mu mesure de probabilité invariante d'un système dynamique hyperbolique T: X -> X, les fonctions lipschitziennes f: X -> R pour lesquelles mu est minimisante ont un intérieur non vide (en topologie de Lipschitz) si et seulement si mu est une orbite périodique de T. Je donnerai une nouvelle preuve de ce théorème, ou plutôt d'un énoncé essentiellement équivalent. Je discuterai aussi de la stabilité des orbites périodiques minimisantes de grande période.
On démontre le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h (en classe Lipschitz) pour les systèmes amphidynamiques vérifiant une certaine condition d'hyperbolicité: la "rectifiabilité". Diverses applications sont données.
Sur l'espace des mesures invariantes signées de AN, on construit une norme (et donc une distance) qui semble avoir une importance particulière du point de vue dynamique. Je présenterai quelques-unes de ses propriétés, et tout particulièrement un théorème de dualité à la Kantorovitch-Rubinstein, qui permet d'exprimer cette distance en termes de couplages.
On montre comment un morphisme sigma: A*->B* entre deux monoïdes libres de type fini peut transformer une mesure invariante sur AN en une mesure invariante sur BN. L'existence d'une telle opération est intimement liée à un résultat de représentation des quasimorphismes homogènes sur le monoïde libre.
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